Наш формат | Блог > книжки > Як зрозуміти математику без страждань? — лайфхаки математика
 

Як зрозуміти математику без страждань? — лайфхаки математика

Математика — це не прісний набір формул. Вона скрізь, якщо знати, куди поглянути. Як розгледіти синусоїди у смужках зебри? Що таке «математика матраців»? Як кидки в баскетболі пояснюють основи лічби?

У книжці «Екскурсія математикою» професор прикладної математики Стівен Строґац проведе вам математичну екскурсію: від найпростіших дій як то додавання та ділення до «страшних» логарифмів, теорії груп та нескінченності.

«Моя книжка не для того, щоб заповнити прогалини в знаннях. Її мета — зробити так, щоб ви краще усвідомили, про що математика як наука загалом і чим вона так зачаровує тих, хто її розуміє», — зізнається Строґац з самого початку.

Дядько Ірв був братом мого батька і його партнером у магазині взуття, який вони тримали в нашому місті. Він опікувався адміністративними питаннями й переважно сидів у кабінеті нагорі, тому що з числами вмів управлятися добре, а з клієнтами — не дуже.

Коли мені було десять або одинадцять років, дядько Ірв дав мені першу текстову задачу. Я її досі пам’ятаю — мабуть, тому, що неправильно її тоді зрозумів і мені було незручно. Ішлося про наповнення ванни.

Якщо кран із холодною водою може наповнити ванну за півгодини, а кран із гарячою — за годину, як довго вони будуть наповнювати ванну, коли ввімкнути їх разом?

 

Цілком певен, що я сказав: «45 хвилин», як і більшість людей. Дядько Ірв похитав головою і всміхнувся.

— Стівене, — сказав він. — Порахуй, скільки води наливається у ванну за хвилину.

Холодна вода наповнює ванну за 30 хвилин, тож за хвилину вона наповнить 1/30 ванни. Але гаряча вода тече повільніше — їй потрібно 60 хвилин. Отже, вона за хвилину наповнить тільки 1/60 ванни. Тож якщо ввімкнути обидва крани, вони за хвилину наповнять ванну на 1/30 + 1/60.

Щоб додати ці дроби, визначимо, що 60 — найменший спільний знаменник. Тоді, якщо переписати 1/30 як 2/60, матимемо:

1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60

= 3/60

=1/20.

Отже, два крани разом наповнять за хвилину 1/20 ванни. Тож усю ванну вони наповнять за 20 хвилин.

Розгляньмо мою першу здогадку про 45 хвилин. Якщо придивитися до екстремального (або граничного) випадку, зрозуміло, що ця відповідь у жодному разі не може бути правильною. Взагалі вона абсурдна. Щоб зрозуміти чому, припустімо, що гаряча вода не ввімкнена. Тоді холодна вода — тільки холодна — наповнить ванну за півгодини. Тож хоч би якою була відповідь на питання дядька Ірва, вона буде меншою за 30 хвилин. Зрештою, якщо ввімкнути гарячу воду разом із холодною, це тільки пришвидшить процес.

Зрозуміло, що цей висновок не такий інформативний, як точна відповідь у 20 хвилин, яку ми отримали методом дядька Ірва, але в нього є перевага: тут взагалі не потрібно рахувати.

Інший спосіб спростити питання — припустити, що вода з обох кранів тече з однаковим напором. Наприклад, кожен кран наповнює ванну за півгодини (отже, гаряча вода тече так само швидко, як і холодна). Тоді відповідь буде очевидна. У новій ситуації є симетрія: два ідеально рівноцінні крани наповнять ванну за 15 хвилин, оскільки кожен із них зробить половину цієї справи.

З цього можна відразу зробити висновок, що на виконання завдання дядька Ірва потрібно більше 15 хвилин. Чому? Тому що «швидкий плюс швидкий» займе менше часу за «повільний плюс швидкий». У нашій вигаданій симетричній задачі два швидкі крани, а в задачі дядька Ірва — один швидкий і один повільний.

Оскільки за умови, що вони обидва швидкі, відповідь — 15 хвилин, то ванна дядька Ірва може наповнюватися тільки довше. Головне тут те, що коли ми взяли два гіпотетичні варіанти — один, коли гаряча вода вимкнена, та другий, коли вона ллється так само швидко, як і холодна, — то дізналися, що відповідь знаходиться між 15 і 30 хвилинами. У значно складніших задачах, де знайти точну відповідь може виявитися неможливо (не тільки в математиці, а й в інших галузях), така приблизна відповідь може бути дуже цінною.

Навіть якщо нам пощастило й ми змогли знайти точну відповідь, ще не час відкорковувати шампанське. Можуть бути легші або простіші способи розв’язання. Це один з варіантів, як використати творчість у математиці.

Наприклад, якщо не брати дядьків метод із підручника, із його дробами і спільними знаменниками, того самого результату можна дійти веселішим шляхом. Мене осяяло цим рішенням через багато років, коли я спробував зрозуміти, чому ця задача так плутає. До мене дійшло: річ у тому, що у кранів різний напір води.

Якщо спробувати зрозуміти, який внесок робить кожен кран, починає боліти голова — особливо коли почати уявляти, як гаряча і холодна вода зустрічаються й змішуються у ванній.

Тож домовимося, що ці два типи води будуть у задачі окремо, принаймні в нашій уяві. Замість того щоб подумки намалювати одну ванну, уявіть два конвеєри, одним із яких ванни проїжджають під гарячим краном, а іншим — під холодним. Крани стоять на місці, і кожен наповнює свій ряд ванн — змішування заборонене. Щойно ванна наповниться, вона просувається далі, і починає наповнюватися інша.

Тепер усе стає легко. За годину гарячий кран наповнить одну ванну, а холодний — дві (тому що на кожну потрібно по півгодини). Отже, це буде три ванни за годину, або одна ванна за 20 хвилин, якщо одночасно ввімкнути гарячу й холодну воду. Еврика!

То чому стільки людей, і серед них я в дитинстві, припускаються такої грубої помилки й називають число 45? Чому нам так хочеться знайти середнє між 30 і 60? Я не впевнений, але схоже, що це випадок хибного розпізнавання образів. Можливо, задача з ваннами надто сильно схожа на інші, у яких знайти середнє арифметичне було б правильним рішенням.

Дружина пояснила мені це через аналогію. Уявіть, що ви допомагаєте бабусі перейти дорогу. Без вашої допомоги їй знадобиться 60 секунд, а ви самостійно проскочили б за 30. Скільки часу знадобиться, щоб ви перейшли дорогу разом, пліч-о-пліч? Середнє арифметичне, 45 секунд, здається правдоподібним, тому що бабуся буде вас сповільнювати, а ви її — пришвидшувати.

Різниця тут у тому, що ви з бабусею впливаєте на швидкість одне одного, а крани — ні. Вони незалежні. Вочевидь, підсвідоме не помічає цієї різниці, принаймні не тоді, коли видає неправильний висновок.

Плюс тут у тому, що навіть на помилках можна вчитися. Звісно, якщо ви зрозумієте, що зробили помилку. Неправильні відповіді викривають оманливі аналогії, від чого стає краще зрозуміло суть задачі.

Інші класичні текстові задачі спеціально написано так, щоб ввести в оману тих, хто буде намагатися їх розв’язати, — наче фокусник із його спритними руками. Пастка — у самій постановці питання. Якщо ви будете відповідати інтуїтивно, найімовірніше, помилитеся.

Спробуйте розв’язати таку задачу. Припустімо, що три чоловіки можуть пофарбувати три паркани за три години. Скільки часу знадобиться одному чоловіку, щоб пофарбувати один паркан?

Хочеться випалити: «Одна година». До цього підштовхує сама постановка питання. Барабанний дріб у першому реченні — три чоловіки, три паркани, три години — чіпляє увагу й встановлює ритм. Тож коли в наступному реченні ритм повторюється, тільки йдеться про одного чоловіка, один паркан, ____ годин, складно встояти й не поставити на місці пропуску число «один». Така паралельна конструкція провокує дати лінгвістично правильну, але математично хибну відповідь. Правильна відповідь — три години.

Коли ви візуалізуєте задачу — уявите, як три чоловіки фарбують три паркани, і всі закінчують за три години, як сказано в умові, — то відповідь стане очевидною. Якщо три паркани закінчили фарбувати за три години, отже, кожен чоловік витратив по три години на один паркан.

Зосередження, якого потребує ця задача, — це одна з найважливіших речей, яких можна навчитися на текстових задачах. Вони змушують зупинитись і замислитися, часто в зовсім незвичний спосіб. Такі задачі вчать нас бути уважними. Можливо, ще важливішим є те, що текстові задачі тренують нас думати не тільки про числа, а й про зв’язки між ними — наприклад, як напір води з кранів впливає на швидкість наповнення ванни. І це критично важливий крок у математичній освіті.

Тож, дядьку Ірве, дякую за перший урок. Принизливий? Так. Незабутній? Так, і це теж... але в хорошому сенсі слова.

Написано Наш формат